O chamado Teorema do Virial é um dos teoremas mais importantes e utilizados em astrofísica. Sua origem data da metade do século XIX a partir do estudo da teoria cinética de gases.

     O teorema do virial se tornou uma importante ferramenta para análise de sistemas com diversos corpos, quando particularmente aplicado a sistemas auto-gravitantes como as estruturas celestes nos oferece diversas informações relevantes ao estudo da cosmologia.

     Um sistema de muitas partículas dinâmicas que possuem uma posição e velocidade limitadas, ou seja, não relativística, e que estejam interagindo gravitacionalmente, se a energia cinética média do sistema  (Ecin) e a energia potencial média (Epot) do sistema variam significativamente no tempo, podemos dizer que a soma das energias potencial (Epot)  e cinética  (Ecin) deve ser menor que zero para um sistema gravitacionalmente ligado, como é o caso de uma galáxia.

     O teorema do virial estabelece que exista uma relação de equilíbrio entre as energias médias das partículas em um sistema, quando esse sistema já alcançou o equilíbrio dinâmico de modo que: 2(Ecin) = (Epot), sendo  a energia cinética e , a energia potencial, desse modo temos: 

        Esse teorema geral de física matemática torna-se uma parte útil à imagem de um colapso gravitacional. No contexto de gravidade, que pode ser aplicado a um conjunto finito de partículas que interagem por atração gravitacional.

      A formação de estrelas depende de um colapso gravitacional, esse colapso deve fornecer energia suficiente para aquecer o gás formado principalmente por hidrogênio que possa, através do processo de fusão, inflamar-se e formar uma estrela. O conhecimento da distribuição da massa da nuvem de gás permite a elaboração de um modelo teórico detalhado sobre esta evolução. As observações indicam que a energia cinética da nuvem que é necessária para que ela entre em colapso gravitacional é a metade de sua energia total, este fato esta de acordo com o teorema do virial.

      Uma das aplicações do teorema do virial está na determinação da massa de um sistema gravitacional isolado, se esse for o caso esse teorema pode ser aplicado para nos oferecer uma boa estimativa da massa da nuvem de gás que forma o sistema, e se pudéssemos medir uma amostra das velocidades das partículas para determinar a sua energia cinética, então poderíamos prever a energia cinética da nuvem de gás que sofre o colapso gravitacional. Assim com o colapso para um dado raio, podemos fazer uma previsão da temperatura do gás de hidrogênio em termos de energia cinética, e poderemos realizar uma previsão de quando a temperatura de ignição para a fusão de hidrogênio é conseguida.

Do Teorema do Virial

        Infelizmente, não podemos utilizar a equação acima diretamente para determinarmos M: tanto r como v² não podem ser medidos observacionalmente. Contudo, podemos estimar estas grandezas a partir das observações.

     Segundo Heisler, Tremaine e Bahcall⁽¹⁾ “Os métodos diretos de medição de massas em astronomia são dinâmicos. Assim, para sistemas tais como aglomerados de estrelas, galáxias e aglomerados de galáxias geralmente assume-se que o sistema já alcançou o equilíbrio dinâmico e são considerados como configurações ligadas gravitacionalmente. A partir das dimensões do sistema e das velocidades dos objetos que o constituem pode-se estimar a sua massa. Nesse sentido, um resultado chave para determinar as massas de galáxias e de aglomerados de galáxias muito utilizado e o teorema do Virial”

       Outra potencial aplicação é a questão da matéria escura. Se um sistema é formado por objetos no espaço e se formos capazes de medir a energia cinética do sistema, em seguida, podemos inferir a energia potencial gravitacional. Se a massa total de todos os objetos visíveis for muito pequena, isso implica que não existe matéria visível suficiente para dar conta da quantidade de energia potencial gravitacional, desse modo atribuímos essa “falta de matéria visível” a matéria escura.

      Mesmo o Teorema do Virial sendo uma poderosa ferramenta para análise na Cosmologia e astrofísica ele não pode ser aplicado a qualquer sistema assim temos: 

• Sistemas para os quais o Teorema do Virial pode ser aplicado:
• Aglomerados de estrelas em fase de evolução avançada;
• Galáxias elípticas;
• Aglomerados de galáxias em fase de evolução avançada.

• Sistemas para os quais o Teorema do Virial NÃO pode ser aplicado:
• Aglomerados de estrelas jovens;
• Galáxias em colisão;
• Aglomerados de galáxias em fase de formação.

(1)Heisler, J.; Tremaine, S.; Bahcall, J. N. Estimating the masses of galaxy groups: alternatives to the virial theorem. The Astrophysical Journal, v. 298

(1)Demonstração do Teorema do Virial em uma abordagem para o Ensino Médio

       A intensidade da força gravitacional da Terra sobre uma partícula de massa m, localizada fora da Terra a uma distância r do centro da Terra é:

Condição da Demonstração 

• 1° O sistema analisado possui apenas dois corpos, é isolado e conservativo.
• 2° As órbitas são circulares e, coplanares e a velocidade de translação são constantes.
• 3° As referências estão no centro de massa dos corpos estudados.
• 4° Estamos desprezando os movimentos de precessão, rotação e qualquer outro movimento que pode tornar a demonstração complexa.
• 5° Por convenção adotamos que a  com referencial no infinito é zero.

Desse modo temos

Onde :

      Para determinação da  (Epot) devemos notar que a força gravitacional é conservativa, pois o trabalho realizado por essa força não depende da trajetória, depende apenas da posição inicial e final. 

      A determinação do trabalho da força gravitacional, não é trivial no nível do ensino médio, como a força é variável e decai com o inverso do quadrado da distância, para a determinação do trabalho de forças variáveis temos que:

O gráfico da força gravitacional é dado por:

        A curva representada no gráfico acima deixa a tarefa de determinar sua área complexa demais para os conhecimentos do ensino médio, desse modo os livros didáticos simplesmente apresentam que:

Combinando a equação (1) e (2) temos:

Assim temos o teorema do Virial apresentado como:

(2) Demonstração do calculo do trabalho por calculo integral

Para determinar a área do gráfico iremos utilizar o calculo diferencial e integral que define

Assim temos:

A integral de uma força conservativa sobre o caminho é definido por:

Onde  ds representa um elemento infinitesimal de área.

Considerando o trabalho da força gravitacional, em um deslocamento de r₁ (posição inicial) e r₂ =  infinito (posição final). Além do mais ds = rdr temos:

Onde r= representa o vetor posição, no nosso caso

Portanto temos: